没啥好说的，就微分方程的基本概念，以及一阶常微分方程的变量分离法。
第一道
试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：
1.1
曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数$a^2$。
这不就是前几天写的克莱罗方程吗，由于写过了，我简写过程：
曲线上一点$A(x_0,y_0)$满足
$$ \frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\dif y}{\dif x} $$对上式分别带入$x=0$和$y=0$即可得到两个截距（取模长），再通过三角形面积公式：
$$ \begin{align*} \left|y_0-x_0 y'\right|\cdot \left| x_0-\frac{y_0}{y'} \right|&=2a^2 \end{align*} $$整理后，对于曲线上任意一点则可以写成
$$ (y - xy')^2 = \pm 2a^2 y' $$1.2
曲线上任一点的切线介于两坐标轴间的部分被切点等分;
(这题目我看半天没读懂，原来是所截线段的中点是$(x,y)$)
由上一问的截距立得
\[ \left(\frac{x-\frac{y}{y'}}{2},\frac{y-xy'}{2}\right)=(x,y) \]整理得
$$ y'=-\frac{y}{x} $$1.3
曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;
立得
\[ y-xy'=x^2 \](题目只要求了列出微分方程，解的话，常数变易法或积分因子法都可以)
第二道
求下列方程的解
2.1
\(\frac{\dif y}{\dif x} = 2xy\)， 并求满足初值条件 \(x=0, y=1\) 的特解；
典型变量分离的题，分离：
\[ \frac{\dif y}{y}=2x\dif x \]积分整理
$$ y=\pm C \me^{x^2}=C \me^{x^2},~y\geq 0 $$带入初值条件解出$C$
$$ C=1\Rightarrow y=\me^{x^2} $$2.2
$$ \begin{align*} \frac{\dif y}{\dif x} = \frac{1 + y^2}{xy + x^3 y} ; \end{align*} $$分离变量
$$ \frac{y\dif y}{1 + y^2}=\frac{\dif x}{x + x^3} $$左边显然凑微分，右边有理也能积，那么
$$ \begin{align*} \int \frac{\dif (1 + y^2)}{1 + y^2}&=2\int \frac{\dif x}{x} -\int \frac{\dif (1+x^2)}{1+x^2}+C\\ \ln(1+y^2)&=\ln(x^2)-\ln(1+x^2)+\ln C\\ 1+y^2&=\frac{x^2 C}{1+x^2} \end{align*} $$第三道
求一曲线，使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两段。
这不就是前面那道的延续吗，直接立得
$$ y'=-\frac{y}{x} $$分离变量
$$ \frac{\dif y}{y}=-\frac{\dif x}{x} $$解得通解
$$ xy=C $$