第一道
曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2，求该曲线所满足的微分方程。
解：
不妨设曲线上一点$A(x_0,y_0)$，那么过该点的切线满足：
$$ \frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\dif y}{\dif x} $$（我觉得这最好理解，左边是斜率，右边也是斜率）
对上式分别带入$x=0$和$y=0$即可得到两个截距（取模长），再通过三角形面积公式：
$$ \begin{align*} \left|y_0-x_0 y'\right|\cdot \left| x_0-\frac{y_0}{y'} \right|&=4\\ 2 x_0 y_0-\frac{y_0^2}{y'}-x_0^2 y' \pm 4&=0\\ (y_0 - x_0 y')^2 &=\pm 4y' \end{align*} $$对于曲线上任意一点则可以写成
$$ (y - xy')^2 = \pm 4y' $$如上方程为克莱罗方程（Clairaut’s equation）
第二道
设质量为m的物体，在时刻$t=0$时自由下落，在空气中受到的阻力与物体下落的速度成正比，试建立受空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程。
解：
根据条件空气阻力可写为$f=kv$，那么根据牛二：
$$ mg - kv = ma $$把速度看作关于时间$t$的函数，那么可构造微分方程：
$$ m\frac{\dif v}{\dif t} = mg - kv $$第三道
求平面上过点$(1,3)$且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线所满足的微分方程。
解：
由条件立得：
$$ \frac{\dif y}{\dif x}=2x $$两边积分得到通解
$$ y=x^2+c $$带入初值条件$(1,3)$，解出常数项$c$得到特解：
$$ c=2\Rightarrow y=x^2+2 $$