情报
“Information is the most valuable weapon.”
补考开考十来分钟，获得一手情报，一页补考的卷子。虽然得到的照片非常的糊，信噪比极低，我需要通过我强大的肉眼OCR，提取支离破碎的文字，再通过我概率论的先验知识，自动错误修复。
通过复原的部分试卷，我轻松写完，并打开$\LaTeX$整理出来。如下为文档链接：
| 概率论补考部分 | 2026-3-11 | 点击下载 (90KB) |
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在开考一个小时以内完成如上工作，声明都没来得急改哈哈哈。
我直接把题放在下面吧：
试题
选择题
第一道
[NONE]
第二道
口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用$X$表示取出的3个球中最大的号码，则$P(X>3)=$____。
A、$0$
B、$0.4$
C、$0.9$
D、$1$
这道题通过取反：
$$ \begin{align*} P(X>3) &= 1 - P(X \leqslant 3)\\ &= 1 - \frac{C_3^3}{C_5^3}\\ &= 1 - 0.1 = 0.9 \end{align*} $$第三道
对随机变量$X$和$Y$，有$P(X\geqslant 0,Y\geqslant 0)=\frac{3}{7},P(X\geqslant 0)=P(Y\geqslant 0)=\frac{4}{7}$， 则$P(\min (X,Y)<0)=$____。
A、$\frac{2}{7}$
B、$\frac{3}{7}$
C、$\frac{4}{7}$
D、$\frac{5}{7}$
画图立得C
选择C
第四道
设随机变量$X,Y$都服从正态分布，且它们不相关，则下列说法正确的是____。
A、$X$与$Y$一定独立
B、$(X,Y)$服从二维正态分布
C、$X$与$Y$未必独立
D、$X\cdot Y$服从正态分布
显然的，不多说明，选C
选择C
第五道
设随机变量$X$的数学期望是$E(X)=\mu$，方差为$D(X)=\sigma^2$，由切比雪夫不等式得$P{|X-\mu|\geqslant 2\sigma}$____。
A、小于等于$\frac{1}{4}$
B、大于等于$\frac{1}{4}$
C、小于等于$\frac{3}{4}$
D、无法判断
根据切比雪夫不等式：
\[ P\{|X-\mu|\geqslant \varepsilon\}\leqslant \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \]直接得到A
选择A
第六道
设总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$未知，$\sigma^2$已知，$X_1,X_2,\ldots,X_n$ 为来自于总体$X$的一个容量为$n$的样本，下列各式中不是统计量的是____。
A、$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$
B、$\max{X_1,X_2,X_3,X_4}$
C、$\sum_{i=1}^{4}X_i^3-\sigma^2$
D、$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$
统计量的定义，立得D
选择D
计算题
第一道
设随机变量$X$的概率密度为
\[ p(x)= \begin{cases} 2x, 0< x < 1, \\ 0, \text{其它} \end{cases} \]随机变量$Y$表示对$X$的4词独立重复实验中事件${X\geqslant \frac{1}{2}} $出现的次数， 试求：
（1）随机变量$Y$的概率分布列。
解：
这是典型的先求概率$p$再通过服从二项分布求解的题型。
因此，首先有
\[ p = P\left(X \geqslant \frac{1}{2}\right) = \int_{1/2}^{+\infty} p(x) \mathrm{d}x \]立得
\[ p = \int_{1/2}^{1} 2x \mathrm{d}x = \left. x^2 \right|_{1/2}^{1} = 1^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]由题意知，随机变量 $Y$ 表示 4 次独立重复实验中事件发生的次数，故 $Y$ 服从二项分布，即 $Y \sim B\left(4, \frac{3}{4}\right)$。
$Y$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$，其概率分布列为：
$$ P(Y = k) = \binom{4}{k} \left(\frac{3}{4}\right)^k \left(\frac{1}{4}\right)^{4-k}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4 $$故
$$ \begin{align*} P(Y = 0) &= \frac{1}{256}\\ P(Y = 1) &= \frac{12}{256} = \frac{3}{64}\\ P(Y = 2) &= \frac{54}{256} = \frac{27}{128}\\ P(Y = 3) &= \frac{108}{256} = \frac{27}{64}\\ P(Y = 4) &= \frac{81}{256} \end{align*} $$分布列的表格形式：
| $Y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{256}$ | $\frac{3}{64}$ | $\frac{27}{128}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{81}{256}$ |
CTF
我又拿下一枚 Flag，作为藐视应试教育的游戏吧哈哈哈，以后我会写一篇，专门讲讲我的爆杀应试教育的夺旗赛 (CTF) 。